
\prob{0055}{三元二次方程组I}

已知正实数$x, y, z$满足

\[ \begin{cases}
  x + y + xy = 8 \\
  y + z + yz = 15 \\
  z + x + zx = 35 \\
\end{cases} \]

求$x, y, z$。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = \sfrac72, y = 1, z = 7$}

\subsection{代数变换}

基本思路：通过一系列代数变换求解出$(x + 1)(y + 1)(z + 1)$，进而求解出$x, y, z$。

将原方程组变形为

\[ \begin{cases}
  (x + 1)(y + 1) = 9 = 3^2 \\
  (y + 1)(z + 1) = 16 = 4^2 \\
  (z + 1)(x + 1) = 36 = 6^2 \\
\end{cases} \]

将三式相乘得

\[ (x + 1)^2(y + 1)^2(z + 1)^2 = (3\cdot4\cdot6)^2 = 72^2 \]

而$x, y, z$为正实数，故

\[ (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 72 \]

将上式分别除以三式可得

\[ \begin{cases}
  z + 1 = \sfrac{72}9 = 8 \\
  x + 1 = \sfrac{72}{16} = \sfrac92 \\
  y + 1 = \sfrac{72}{36} = 2 \\
\end{cases} \]

即$x = \sfrac72, y = 1, z = 7$。

综上，$x = \sfrac72, y = 1, z = 7$。
